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数学专题

三大名题

[修改时间:2011-9-25 19:57:38  浏览次数:1950]
 

 据说,在监狱里,哲学家阿那克萨哥拉思考方圆面积问题及与此有关的问题,用来打发令人苦恼的无所事事的生活。
这个问题后来被成为三大名题中的一个。它和其他名题有什么值得注意的呢? 许多着作都记载了这些问题。
现在,我们用最通俗的语言先把这些问题简述一遍。
  1.方圆问题:要求做出面积和已知圆面积相等的正方形的一条边。

  2.立方体加倍问题:要求做出体积是已知立方体体积的二倍的立方体的一条棱。

  3.三等分问题:要求把一个任意角分成三等分。

  但我们要附带说明一下,假如问题恰如我们所扼要陈述的这样,这些问题就没有任何伟大之处了——解这些问题有很多种方法,
许多希腊人都知道了其中的许多方法。需要的不只是解出来,而是解的时候,除了圆规和直尺以外,不能用别的工具。
为什么希腊人宁愿用圆规和直尺,而不肯用其他工具呢?我们不能绝对地,十分肯定地回答这个问题。是因为圆规和直尺是最简便的工具吗?
也许是这样。可是,许多工具都称得上和圆规,直尺同样简便。借助于其他的某些工具也能解决上述问题。
看来,正是在用圆规和直尺解决问题的无数次尝试中,获得了许多具有直接应用价值的宝贵资料,而问题本身实际的重要性却退到了次要的位置上。

  数学具有从其他科学中分离出来的一种奇异的特性:如果稍一牵动其中的某个环节,就能拽出这个环节前后的一整串的数学事实。
而一个着名的问题,是在数学的发展中就起着一个环节的作用。抓住这个环节,就可以看出它和许许多多旧的和新的数学领域之间的有机联系。

  我们还是回到牢房的粗大的铁栏杆后面,那块凿的很粗糙的大理石旁边来吧,阿那克萨哥拉正在这里深入地思考着方圆问题。
一般认为,这个问题在上述的三个问题中,是最古老的问题之一。什么情由能导致这个问题的出现呢?
回答这个问题我们还是没有把握。我们只能做到一些多少合乎实际的推测。

  首先,从数学思想最基本的逻辑学的观点来看,这个问题似乎是必然的。确实如此,如果你得到一个圆规,遇到的第一个图形就会是圆;
另一方面,还有一个十分自然的图形——正方形。其中每一个图形都有一个确定的面积。这两个具有同样面积的图形之间,可以很自然地搭起一座桥来,
就是把其中的一个图形变换成另一个图形。因为变换只能用圆规和直尺,所以就可能产生这样的一个问题:
利用圆规和直尺做出一个面积相等于已知圆面积的正方形的一条边。而这也就是方圆问题。

  也可能是另外一种情况,即不是直接的,而是通过一系列的中间环节得到了方圆问题的思想。
比方说,毕达哥拉斯定理的正确性,就不仅适用于分别用两条直角边和一条斜边做出的正方形,
而且还适用于用这些线段做出的任何相似的图形。确实如此,如果a,b,c分别用为两条直角边和一条斜边的长度,
A,B,C分别为用a,b,c做出的相似图形的面积,那么,显然

  A/a2=B/b2=/C/c2=λ (我们用λ表示公比数)。

  由此得: A+B=λ(a2+b2)=λc2=C 这就是要证明的论断。

  这里也包括:用两条直角边做出的两个半圆的面积之和等于用斜边做出的半圆的面积(两条直角边和斜边分别为各自的半圆的直径)。
在这种情况下,正如下图所示,用斜线条画出的两条镰刀形的面积之和等于用斜线条画出的直角三角形的面积。
用圆规和直尺做出的图1画出了分别用两条直角边和一条斜边做出的三个半圆。其中每一个镰刀形都是一个数学中因希波克拉底月牙形而得名的图形。
这个名称取自于古希腊开奥斯的数学家希波克拉底的名字(古希腊还有一个和他同名的人,是西方医学的奠基人),
他生活在公元前五世纪,曾经从事这种月牙形面积的研究。

这样,利用圆规和直尺就可以把由两个希波克拉底月牙形组成的图形变成与之同样大小的一个直角三角形,
在利用圆规和直尺就能很容易地把这个三角形变成与之同样大小的一个正方形。
求面积等于直角三角形面积的正方形的边的方法如图2所示。图中画了一个直角边BC=a,AC=b的三角形ABC.
作线段AD=b+a/2,并用它做直径做一个半圆。设这个半圆穿过直角边BC或BC的延长线,交于K点。
这时,CK就是所求的正方形的边长。因为CK2=AC*CD=b*a/2

我们再来看看图3.图中画了一个直角三角形,CK是它的高,AK和KB是直角边在斜边上的投影。
用这两个投影和斜边做三个半圆。由这样半圆组成的画有斜线条的图形,好像古希腊做皮鞋用的阿尔别隆刀,
因此,求这种图形的面积,便成为阿尔别隆问题。我们注意到,这个阿尔别隆是由三个圆弧组成的,
所以,我们也许可以把它看作是一个广义的希波克拉底月牙形。这个图形用圆规和直尺大概也能做出来。
我们来看直径为CK的圆,设k为该圆的面积,a为阿尔别隆的面积。下面的等式是成立的:

  k=π(CK/2)2

  a=π/2*((AK+KB)/2)2-π/2*(AK/2)2-π/2*(KB/2)2 =π(AK*KB)/4

  而 CK2=AK*KB 所以 a=k。

  这样,利用圆规和直尺就可以把一些广义的希波克拉底月牙形(阿尔别隆)变成与之同样大小的圆。

由此自然会产生这样一种想法:能否利用希波克拉底月牙形把一个圆变成与之同样大小的正方形呢?
要知道,从数学联想的逻辑学的观点来看,这种论证序列的成功率是很高的。
为什么会产生三等分角的问题呢?想必是由于需要把一条任意的直线段分成三等分。这种分割很容易做到,
不仅容易分成三等分,而且还可以分成任意等分。数学联想又自然地引导人们去考虑把一条直线段的分割方法移植到另外一些几何形式上去的可能性。
在把角看作是一个中心角的情况下,我们就可以在提出三等分角的问题的同时,还提出三等分角所对的圆弧的问题(图4)。
那么能不能利用圆规和直尺把圆弧分成三等分呢?

立方体加倍的问题也叫做第罗斯或者第罗斯问题。人们通常把这个问题的产生和第罗斯岛上发生的瘟疫,
以及阿波罗神殿的女祭司向祈求神把他们从罪恶中拯救出来的岛上的人们提出的条件这段传说联系在一起。

 
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